Pola Pikir Sains* dan Matematika (Part 2)

Artikel ini adalah lanjutan dari artikel: Pola Pikir Sains* dan Matematika (Part 1).

Setelah sang professor membahas tentang pola pikir sains, ia pun melanjutkan pembahasannya.

“Setelah kita tahu pola pikir sains, selanjutnya akan kita bahas pola pikir matematika. Seperti apakah pola pikir matematika itu?” begitu pertanyaan retorik sang professor. Suasana yang semula agak ramai karena diskusi, sekarang mulai tenang lagi. Para mahasiswa mulai diam berkonsentrasi, siap menyimak penjelasan selanjutnya.

“Berbeda dengan sains, pola pikir yang digunakan dalam matematika itu adalah pola pikir deduktif. Yakni pola pikir yang didasarkan pada pernyataan yang umum kemudian diturunkan kasus-kasus yang khusus. Jadi pola pikir ini berkebalikan dengan pola pikir induktif. Untuk lebih mudahnya, mari kita lihat contoh proses berpikir deduktif itu,” begitu kata sang professor. Kemudian ia menuliskan sesuatu di papan tulis, seperti berikut ini.

Contoh 3:

1 + 3 = 4

3 + 5 = 8

-1 + (-5) = -6

7 + (-3) =4

-5 + 3 = -2

“Bila kita menggunakan pola berpikir induktif, dari contoh-contoh penjumlahan pada Contoh 3 ini kita akan menyimpulkan bahwa: jumlah sembarang dua buah bilangan ganjil adalah bilangan genap. Kesimpulan ini, secara matematis belum bisa diterima kebenarannya. Walaupun kita memberi 1001 contoh atau sejuta contoh sekalipun, tetap saja kesimpulan ini belum diterima secara matematis bila belum dibuktikan secara deduktif. Dalam matematika, kesimpulan semacam ini baru dikatakan sebagai dugaan saja, istilahnya baru berupa conjecture,” ujar sang professor dengan mantap.

“Lalu pembuktian secara deduktifnya seperti apa prof?” tanya seorang mahasiswa.

“Ya terimakasih atas pertanyaannya,” ucap sang professor. “Pembuktian secara deduktifnya, atau dikatakan pembuktian matematisnya itu bisa seperti ini,” kemudian ia menuliskan bukti matematisnya seperti berikut ini.

Pernyataan (kesimpulan tadi): Jumlah sembarang dua buah bilangan ganjil adalah bilangan genap.

Bukti:

Misalkan bilangan-bilangan ganjil itu adalah $g_1 = 2n + 1$ dan $g_2 = 2k + 1$ dengan $n$ dan $k \in Z$ (baca: $n$ dan $k$ adalah anggota himpunan bilangan bulat*). Maka, sesuai pernyataan diperoleh: $g_1 + g_2 = (2n+1) + (2k+1) = 2n + 2k + 2 = 2 (n + k +1)$ . Karena $2(n+ k +1)$ adalah bilangan genap, maka pernyataan terbukti.

“Pernyataan ini karena sudah terbukti secara matematis benar, dalam matematika disebut teorema. Dan ini berlaku umum. Artinya, dari teorema ini kita bisa berkata secara sah yakin sepenuhnya bahwa jumlah sembarang dua buah bilangan ganjil adalah bilangan genap. Dari teorema ini kita bisa memberi contoh sebanyak yang kita mau, semau yang kita suka,” ujar sang professor dengan berapi-api.

“Namun yang perlu kita tahu juga adalah bahwa, pembuktian dalam matematika itu tidak bisa hanya dengan contoh-contoh semata, tak peduli berapa banyak contohnya. Tetapi, dalam matematika itu, bila untuk menunjukkan bahwa suatu pernyataan itu salah cukup dengan hanya memberi satu contoh penyangkal,” begitu ia melanjutkan penjelasannya. Belum sempat melanjutkan ceramahnya, tiba-tiba dari pojok belakang seorang mahasiswa berkomentar.

“Prof, dari penjelasan-penjelasan tadi, tetap saja dalam matematika itu diperlukan pola berpikir induktif. Jadi pola berpikir deduktif itu bisa berkembang dari pola-pola berpikir induktif. Makanya tak heran banyak kawan kita dari bidang sains menyatakan bahwa sains berkontribusi besar dalam perkembangan matematika. Karenanya, saya pikir pola berpikir secara induktif dapat digunakan di matematika,” begitu komentarnya.

“Pendapat Anda tak sepenuhnya benar. Memang seringkali temuan-temuan dalam matematika itu dimotivasi oleh kebutuhan sains. Tapi juga tak jarang matematikawan itu menemukan sesuatu bukan karena sains, tetapi hanya untuk kesenangan pikirannya saja. Tak peduli apakah nanti ada gunanya atau tidak,” sang professor berhenti sejenak untuk mengambil nafas. Kemudian ia melanjutkan lagi. “Terus, pemakaian pola berpikir induktif dalam matematika itu perlu sangat hati-hati. Kenapa? Karena bisa jadi kita terlalu terburu-buru berkesimpulan alias kita salah merumuskan dugaan (conjecture),” begitu tanggapan sang professor.

Mendengar pernyataan sang professor itu beberapa mahasiswa berebut ingin berpendapat ataupun bertanya. Menyaksikan hal itu, salah seorang mahasiswa ditunjuk oleh sang professor.

“Bila begitu prof, bisakah bapak memberi kami contoh dalam matematika bahwa bila kita terlalu terburu-buru menggunakan pola berpikir induktif itu akan salah?” tanya mahasiswa yang ditunjuk tadi, sepertinya sedikit menguji kesiapan sang professor.

Sang professor sedikit berpikir, beberapa menit ia terdiam. Mungkin di pikirannya ia sedang mencari-cari contoh dalam matematika. Maklum ia adalah professor filsafat tulen, ia perlu berpikir secara cermat, makanya ia perlu berpikir agak lama mencari contoh dalam matematika. Kemudian ia pun menanggapi pertanyaan mahasiswa tadi. “Sebenarnya contoh bahwa kesimpulan hasil berpikir secara induktif itu bisa salah atau tak berlaku secara umum sudah kita lihat contohnya seperti Contoh 1 pada pembahasan sebelumnya. Namun karena Anda meminta contoh dalam matematika, baiklah saya akan memberinya,” begitu ucapan professor dengan penuh kehati-hatian. Kemudian ia menulis lagi sambil berkata, “Misalkan kita mempunyai pernyataan semacam ini”

Contoh 4:

Bila $m$ adalah anggota bilangan bulat tak negatif, maka berlaku $2^m < 2m^2 + 2$

“Kemudian kita periksa pernyataan ini secara induktif seperti berikut ini,” ucap professor sambil terus menulis.

Untuk $m$ = 0, dengan mensubstitusikan nilai ini ke dalam “ketaksamaan” $2^m < 2m^2 + 2$ , maka diperoleh ketaksamaan $1 < 2$ . Dan ini adalah pernyataan yang benar.

Untuk $m$ = 1, dengan mensubstitusikan nilai ini ke dalam “ketaksamaan” $2^m < 2m^2 + 2$ , maka diperoleh ketaksamaan $2 < 4$ . Dan ini adalah pernyataan yang benar.

Untuk $m$ = 2, dengan mensubstitusikan nilai ini ke dalam “ketaksamaan” $2^m < 2m^2 + 2$ , maka diperoleh ketaksamaan $4 < 10$ . Dan ini adalah pernyataan yang benar.

Untuk $m$ = 3, juga dengan mensubstitusikan nilai ini ke dalam “ketaksamaan” $2^m < 2m^2 + 2$ , maka diperoleh ketaksamaan $8 < 20$ . Dan ini juga adalah pernyataan yang benar.

“Bila kita terburu-buru berpikir secara induktif, maka kita akan berkesimpulan bahwa pernyataan pada Contoh 4 ini adalah sebuah pernyataan yang diduga benar. Lalu kita akan berusaha membuktikannya secara deduktif, berusaha melakukan pembuktian secara matematis untuk pernyataan Contoh 4 ini. Bila ini dilakukan, tentunya bukti matematisnya tak bisa dilakukan,” begitu penjelasan professor. “Ini akibat kita terlalu terburu-buru membuat kesimpulan secara induktif yang diterapkan pada matematika,” lanjut ia menjelaskan setelah jeda sebentar.

“**Silakan Anda cek pernyataan Contoh 4 ini, apakah masih berlaku untuk $m = 7$ ?” Tanya sang professor pada mahasiswa-mahasiswanya. Kemudian terjadilah tanya jawab di antara mereka.

Tak terasa waktu kuliah pun berakhir. Selanjutnya professor itu segera menutup perkuliahan.

=======================================================

Ya sudah sampai di sini dulu ya ceritanya. Sampai jumpa di tulisan berikutnya.

Catatan:

*Himpunan bilangan bulat biasa disimbolkan dengan $Z$ = {…, -2, -1, 0, 1, 2,…}

** Untuk $m$ = 7, dengan mensubstitusikan ke dalam “ketaksamaan” $2^m < 2m^2 + 2$ , maka pernyataan ini tak berlaku alias salah karena $2^7 = 128$ sedangkan $2 (7)^2 + 2 = 100$ .

Info: Tulisan saya yang lain: (1) Orang Cerdas tapi “Busuk”; (2) Kebetulan

==============================================================

1. Artikel ini pertama kali diterbitkan di blog Bicara Matematika. Sejak 29 Juli 2007 hingga 13 September 2007 sudah dinikmati oleh lebih dari 490 pembaca.

2. Artikel ini utamanya saya kategorikan dalam bidang: Pendidikan Matematika.

Menulis (Calon) Buku

Pola Pikir Sains* dan Matematika (Part 2)

0 Responses to “Pola Pikir Sains* dan Matematika (Part 2)”

Leave a Reply

Recent Posts

Recent Comments

Meta

Blogroll

Categories

Archives

Spam Blocked

Flickr Photos